本文介绍一种神经网络的可视化方法:积分梯度(Integrated Gradients),它首先在论文《Gradients of Counterfactuals》中提出,后来《Axiomatic Attribution for Deep Networks》再次介绍了它,两篇论文作者都是一样的,内容也大体上相同,后一篇相对来说更易懂一些,如果要读原论文的话,建议大家优先读后一篇。当然,它已经是2016~2017年间的工作了,“新颖”说的是它思路上的创新有趣,而不是指最近发表。

所谓可视化,简单来说就是对于给定的输入$x$以及模型$F(x)$,我们想办法指出$x$的哪些分量对模型的决策有重要影响,或者说对$x$各个分量的重要性做个排序,用专业的话术来说那就是“归因”。一个朴素的思路是直接使用梯度$\nabla_x F(x)$来作为$x$各个分量的重要性指标,而积分梯度是对它的改进。然而,笔者认为,很多介绍积分梯度方法的文章(包括原论文),都过于“生硬”(形式化),没有很好地突出积分梯度能比朴素梯度更有效的本质原因。本文试图用自己的思路介绍一下积分梯度方法。

朴素梯度 #

首先,我们来学习一下基于梯度的方法,其实它就是基于泰勒展开:
\begin{equation}F(x+\Delta x) - F(x) \approx \langle\nabla_x F(x), \Delta x\rangle=\sum_i [\nabla_x F(x)]_i \Delta x_i\label{eq:g}\end{equation}
我们知道$\nabla_x F(x)$是大小跟$x$一样的向量,这里$[\nabla_x F(x)]_i$为它的第$i$个分量,那么对于同样大小的$\Delta x_i$,$[\nabla_x F(x)]_i$的绝对值越大,那么$F(x+\Delta x)$相对于$F(x)$的变化就越大,也就是说:

$[\nabla_x F(x)]_i$衡量了模型对输入的第$i$个分量的敏感程度,所以我们用$|[\nabla_x F(x)]_i|$作为第$i$个分量的重要性指标。

这种思路比较简单直接,在论文《How to Explain Individual Classification Decisions》和《Deep Inside Convolutional Networks: Visualising Image Classification Models and Saliency Maps》都有描述,在很多时候它确实也可以成功解释一些预测结果,但它也有明显的缺点。很多文章提到了饱和区的情况,也就是一旦进入到了饱和区(典型的就是$\text{relu}$的负半轴),梯度就为0了,那就揭示不出什么有效信息了。

从实践角度看,这种理解是合理的,但是笔者认为还不够深刻。从之前的文章《对抗训练浅谈:意义、方法和思考(附Keras实现)》可以看出,对抗训练的目标可以理解为就是在推动着$\Vert\nabla_x F(x)\Vert^2 \to 0$,这也就可以理解为,梯度是可以被“操控”的,哪怕不影响模型的预测准确率的情况下,我们都可以让梯度尽可能接近于0。所以,回到本文的主题,那就是:$[\nabla_x F(x)]_i$确实衡量了模型对输入的第$i$个分量的敏感程度,但敏感程度不足以作为重要性的良好度量。

积分梯度 #

鉴于直接使用梯度的上述缺点,一些新的改进相继被提出来,如LRP、DeepLift等,不过相对而言,笔者还是觉得积分梯度的改进更为简洁漂亮。

参照背景 #

首先,我们需要换个角度来理解原始问题:我们的目的是找出比较重要的分量,但是这个重要性不应该是绝对的,而应该是相对的。比如,我们要找出近来比较热门的流行词,我们就不能单根据词频来找,不然找出来肯定是“的”、“了”之类的停用词,我们应当准备一个平衡语料统计出来的“参照”词频表,然后对比词频差异而不是绝对值。这就告诉我们,为了衡量$x$各个分量的重要性,我们也需要有一个“参照背景”$\bar{x}$。

当然,很多场景下我们可以简单地让$\bar{x}=0$,但这未必是最优的,比如我们还可以选择$\bar{x}$为所有训练样本的均值。我们期望$F(\bar{x})$应当给一个比较平凡的预测结果,比如分类模型的话,$\bar{x}$的预测结果应该是每个类的概率都很均衡。于是我们去考虑$F(\bar{x})-F(x)$,我们可以想象为这是从$x$移动到$\bar{x}$的成本。

如果还是用近似展开$\eqref{eq:g}$,那么我们将得到
\begin{equation}F(\bar{x})-F(x) \approx \sum_i [\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i\label{eq:g2}\end{equation}
对于上式,我们就可以有一种新的理解:

从$x$移动到$\bar{x}$的总成本为$F(\bar{x})-F(x)$,它是每个分量的成本之和,而每个分量的成本近似为$[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i$,所以我们可以用$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$作为第$i$个分量的重要性指标。

当然,不管是$[\nabla_x F(x)]_i$还是$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$,它们的缺陷在数学上都是一样的(梯度消失),但是对应的解释却并不一样。前面说了,$[\nabla_x F(x)]_i$的缺陷源于“敏感程度不足以作为重要性的良好度量”,而纵观这一小节的推理过程,$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$的缺陷则只是因为“等式$\eqref{eq:g2}$仅仅是近似成立的”,但整个逻辑推理是没毛病的。

积分恒等 #

很多时候一种新的解释能带给我们新的视角,继而启发我们做出新的改进。比如前面对缺陷的分析,说白了就是说“$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$不够好是因为式$\eqref{eq:g2}$不够精确”,那如果我们直接能找到一个精确相等的类似表达式,那么就可以解决这个问题了。积分梯度正是找到了这样的一个表达式:设$\gamma(\alpha),\alpha\in[0,1]$代表连接$x$和$\bar{x}$的一条参数曲线,其中$\gamma(0)=x, \gamma(1)=\bar{x}$,那么我们有
\begin{equation}\begin{aligned}
F(\bar{x})-F(x) =&\, F(\gamma(1))-F(\gamma(0))\\
=& \int_0^1 \frac{dF(\gamma(\alpha))}{d\alpha}d\alpha\\
=& \int_0^1 \left\langle\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha)), \gamma'(\alpha)\right\rangle d\alpha\\
=& \sum_i \int_0^1 \left[\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\right]_i \left[\gamma'(\alpha)\right]_i d\alpha
\end{aligned}\label{eq:g3}\end{equation}
可以看到,式$\eqref{eq:g3}$具有跟$\eqref{eq:g2}$一样的形式,只不过将$[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i$换成了$\int_0^1 \left[\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\right]_i \left[\gamma'(\alpha)\right]_i d\alpha$。但式$\eqref{eq:g3}$是精确的积分恒等式,所以积分梯度就提出使用
\begin{equation}\left|\int_0^1 \left[\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\right]_i \left[\gamma'(\alpha)\right]_i d\alpha\right|\label{eq:ig-1}\end{equation}
作为第$i$个分量的重要性度量。作为最简单的方案,自然就是将$\gamma(\alpha)$取为两点间的直线,即
\begin{equation}\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}\end{equation}
这时候积分梯度具体化为
\begin{equation}\left|\left[\int_0^1 \nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\big|_{\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}}d\alpha\right]_i \left[\bar{x}-x\right]_i\right|\label{eq:ig-2}\end{equation}
所以相比$|[\nabla_x F(x)]_i [\bar{x} - x]_i|$的话,就是用梯度的积分$\int_0^1 \nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\big|_{\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}}d\alpha$替换$\nabla_x F(x)$,也就是从$x$到$\bar{x}$的直线上每一点的梯度的平均结果。直观来看,由于考虑了整条路径上的所有点的梯度,因此就不再受某一点梯度为0的限制了。

如果读者看了积分梯度的两篇原始论文,就会发现原论文的介绍是反过来的:先莫名其妙地给出式$\eqref{eq:ig-2}$,然后再证明它满足两点莫名其妙的性质(敏感性和不变性),接着证明它满足式$\eqref{eq:g3}$。总之就是带着读者做了一大圈,就是没说清楚它是一个更好的重要性度量的本质原因——大家都是基于对$F(\bar{x})-F(x)$的分解,而式$\eqref{eq:g3}$比式$\eqref{eq:g2}$更为精确。

离散近似 #

最后就是这个积分形式的量怎么算呢?深度学习框架没有算积分的功能呀。其实也简单,根据积分的“近似-取极限”定义,我们直接用离散近似就好,以式$\eqref{eq:ig-2}$为例,它近似于:
\begin{equation}\left|\left[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\Big(\nabla_{\gamma} F(\gamma(\alpha))\big|_{\gamma(\alpha) = (1 - \alpha) x + \alpha \bar{x}, \alpha=k/n}\Big)\right]_i \left[\bar{x}-x\right]_i\right|\end{equation}
所以还是那句话,本质上就是“从$x$到$\bar{x}$的直线上每一点的梯度的平均”,比单点处的梯度效果更好。

实验效果 #

看完了理论,我们再来看看实验效果。

原始效果 #

原始论文实现:https://github.com/ankurtaly/Integrated-Gradients

下面是原论文的一些效果图:

原论文中对梯度和积分梯度的比较(CV任务,可以看到积分梯度能更精细地突出重点特征)

原论文中对梯度和积分梯度的比较(CV任务,可以看到积分梯度能更精细地突出重点特征)

原论文中对梯度和积分梯度的比较(NLP任务,红色为正相关,蓝色是负相关,灰色为不相关)

原论文中对梯度和积分梯度的比较(NLP任务,红色为正相关,蓝色是负相关,灰色为不相关)

个人实现 #

虽然Keras官网已经给出了参考实现了(请看这里),但代码实在是太长,看着太累,笔者根据自己的理解也用Keras实现了一个,并应用到了NLP中,具体代码见“task_sentiment_integrated_gradients.py”。目前的代码仅仅是简单的demo,欢迎读者在此基础上派生出更强大的代码。

笔者在中文情感分类上对积分梯度的实验效果(越红的token越重要)

笔者在中文情感分类上对积分梯度的实验效果(越红的token越重要)

上图中笔者给出了几个样本的效果(模型对上述样本的情感标签预测都是正确的),由此我们可以推测原模型进行情感分类的原理。从上图我们可以看到,对于负样本,积分梯度可以比较合理地定位到句子中的负面词语,而对于正样本,哪怕它的语法格式跟负样本一样,却无法定位到句子中的正面词语。这个现象表明,原模型做情感分类的思路可能是“负面检测”,也就是说主要做负面情绪检测,而检测不到负面情绪则视为正样本,这大概是因为没有“中性”样本训练所带来的结果。

又到文末 #

本文介绍了一种称为“积分梯度”的神经网络可视化方法,利用它可以一定程度上更好描述输入的各个分量的重要程度。积分梯度通过沿着路径对梯度进行积分来构建了精确的等式,弥补了泰勒展开的不足,从而达到了比直接使用梯度更好的可视化效果。

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苏剑林. (2020, Jun 28). 《积分梯度:一种新颖的神经网络可视化方法 》[Blog post]. Retrieved from /archives/7533